La formule et ce qu'elle ajoute
Extension de l'équation 2.2 par la violence des communes limitrophes.
Ce qu'ajoute l'équation par rapport à 2.2
| Terme | Ce que c'est | Ce qu'il fait dans le modèle |
|---|---|---|
| wij | Élément de la matrice d'adjacence | Vaut 1 si les communes i et j partagent une frontière, 0 sinon, et 0 sur la diagonale. Une commune n'est pas sa propre voisine. |
| Ṽit | Violence de voisinage | Somme des événements de toutes les communes limitrophes le même mois. Mesure l'exposition d'une commune à l'insécurité qui l'entoure. |
| β1 | Effet local | 2,59 dans la spécification spatiale. La violence qui se produit chez soi. |
| β2 | Effet de débordement | 1,18, p = 0,008. Doubler la violence du voisinage multiplie le flux attendu par environ 2,3. C'est le résultat neuf. |
Tableau 2.3.a. Les deux coefficients de l'extension spatiale. Écarts-types et p exacts dans les valeurs figées, tableau 14.1.
La matrice d'adjacence, concrètement
Contiguïté de premier ordre, dérivée des géométries communales du fond COD.
La matrice W n'est pas un objet théorique : elle est dérivée des géométries communales du fond COD par intersection des frontières. Le schéma ci-dessous montre le principe sur cinq communes fictives.
Figure 2.3. Construction de la matrice d'adjacence. Dans le mémoire,
elle relie 138 communes par 632 liens orientés, soit 4,58 voisines en moyenne par commune.
Fichier donnees/generees/communes_adjacence.csv.
Origine et rôle
De la première loi de la géographie à la défense explicite du SLX en 2015.
Le principe. Waldo Tobler énonce en 1970 ce qu'on appelle la première loi de la géographie : tout est lié à tout, mais les choses proches le sont davantage. C'est l'intuition que formalise toute l'économétrie spatiale.
Les outils de mesure. Patrick Alfred Pierce Moran, statisticien australien, propose en 1950 dans Biometrika la statistique qui porte son nom pour détecter l'autocorrélation spatiale. Roy Geary en donne une variante en 1954.
La formalisation. Andrew Cliff et Keith Ord systématisent en 1973 puis 1981 la matrice de poids spatiaux et l'inférence associée. Luc Anselin fixe le cadre moderne dans Spatial Econometrics: Methods and Models (1988), ouvrage cité au chapitre 2, et crée le logiciel GeoDa.
La forme SLX précisément. Solmaria Halleck Vega et J. Paul Elhorst soutiennent en 2015 dans le Journal of Regional Science que le modèle à retard spatial des variables explicatives devrait être le point de départ de toute analyse spatiale, et non un pis-aller. C'est exactement la position du mémoire. Leur argument fait écho à la critique de Steve Gibbons et Henry Overman (2012) contre l'usage réflexe des modèles autorégressifs spatiaux.
Cette équation porte le résultat le plus neuf du travail. Elle établit qu'une commune se vide non seulement quand la violence l'atteint, mais aussi quand elle atteint ses voisines immédiates, avec un effet significatif à p = 0,008.
Sa conséquence sur l'identification est considérable : le nombre de communes qui contribuent effectivement à l'estimation passe de 7 à 25. Une part importante du déplacement provenait de communes où la violence enregistrée était faible, et paraissait donc inexpliquée.
La portée pour la planification est directe. Elle justifie de cibler par zones plutôt que commune par commune, puisque la commune sans violence enregistrée mais bordée de communes violentes est une commune à risque. Le mémoire chiffre cette décomposition : la moitié du flux vient de la violence locale, près de la moitié d'un voisinage violent, et trois pour cent seulement d'un isolement réel.
Pourquoi le SLX, et pas un modèle autorégressif spatial
La question la plus probable en soutenance, car le modèle autorégressif est plus connu.
La réponse tient au mécanisme théorique, pas à la commodité technique.
| Alternative | Forme | Motif d'écartement |
|---|---|---|
| Modèle autorégressif spatial (SAR) | Y = ρWY + Xβ + ε | Il postule que le déplacement d'une commune cause celui de ses voisines. Or notre théorie dit que c'est la violence du voisin qui pousse au départ, pas son déplacement. Le modèle testerait donc autre chose que H1. |
| Modèle de Durbin spatial (SDM) | Y = ρWY + Xβ + WXθ + ε | Contient bien notre terme, mais lui ajoute le bouclage des flux, non justifié théoriquement. Ses coefficients ne s'interprètent plus directement : il faut passer par une décomposition en effets directs et indirects (LeSage et Pace, 2009), ce qui obscurcit la lecture sans rien apporter. |
| Modèle à erreur spatiale (SEM) | Y = Xβ + u, u = λWu + ε | Traite la dépendance spatiale comme une nuisance à corriger. Ici le débordement est l'objet d'étude, pas un parasite. |
| Distance kilométrique pondérée | wij = 1/dij | Introduirait un paramètre de décroissance arbitraire. La contiguïté binaire ne demande aucun choix discrétionnaire et correspond au mécanisme de fuite de proche en proche. |
La réponse courte : β₂ se lit directement comme le débordement, sans décomposition intermédiaire, la spécification colle au mécanisme théorique plutôt qu'à une convention, et elle s'estime directement en PPML sans machinerie supplémentaire. Un modèle plus général aurait coûté en interprétabilité ce qu'il n'apportait pas en réponse à la question posée.
Vérification de colinéarité et de dépendance résiduelle
Deux vérifications accompagnent obligatoirement cette équation, et le chapitre 2 les documente. D'abord la corrélation entre violence locale et violence de voisinage : si elle était trop forte, les deux coefficients ne seraient plus séparables. Elle reste modérée, et les deux termes conservent une variation propre suffisante.
Ensuite l'autocorrélation spatiale résiduelle, mesurée par la statistique de Moran calculée sur les résidus avec la même matrice W. Elle répond à une question précise : le terme spatial ajouté suffit-il à absorber la dépendance, ou en reste-t-il dans les résidus ? Une statistique proche de zéro valide la spécification.