La formule et ses termes
Estimé par fepois du package fixest, écarts-types groupés par commune.
Décomposition, terme par terme
| Terme | Ce que c'est | Ce qu'il fait dans le modèle |
|---|---|---|
| 𝔼[Fit | …] | Espérance conditionnelle du flux sortant | On ne modélise pas le flux observé mais sa moyenne attendue. C'est ce qui permet aux zéros d'exister sans poser problème. |
| exp(…) | Fonction de lien exponentielle | Garantit que la prédiction reste positive, ce qu'un modèle linéaire ne fait pas. Rend aussi les effets multiplicatifs et non additifs. |
| ln(1 + Vit) | Violence locale transformée | Absorbe l'asymétrie extrême du comptage d'événements et accueille les mois sans violence. |
| β | Coefficient d'intérêt | Élasticité apparente. Concrètement : doubler (1 + violence) multiplie le flux attendu par 2β, soit environ 4,7 fois pour β = 2,23. |
| αi | Effet fixe de commune | Neutralise tout ce qui est stable dans une commune : proximité des foyers de conflit, réseaux de fuite, densité, dotation initiale. Observé ou non. |
| γt | Effet fixe de mois | Neutralise la tendance nationale du déplacement. Sans lui, on confondrait l'effet de la violence avec le simple fait que tout monte en même temps. |
Tableau 2.2.a. Lecture du modèle principal.
Les neuf spécifications estimées et leurs écarts-types sont dans les valeurs figées, tableau 14.1.
La surdispersion ne disqualifie pas l'estimateur
Le résultat le moins intuitif de toute la méthodologie.
C'est le résultat qu'un jury peut vouloir tester. La loi de Poisson suppose que la variance égale la moyenne. Dans notre panel, la variance vaut treize mille fois la moyenne. Cette hypothèse est donc violée de façon spectaculaire. Or l'estimateur reste convergent, parce que sa validité ne repose pas sur la loi entière mais uniquement sur la forme correcte de l'espérance conditionnelle, celle qu'écrit le membre de droite de l'équation. La surdispersion n'affecte que les écarts-types, pris en charge séparément par le groupement par commune.
Le problème des paramètres incidents, en trois phrases
Jerzy Neyman et Elizabeth Scott ont montré en 1948 que dans un modèle non linéaire, estimer un paramètre par individu alors que le nombre d'observations par individu reste fixe rend l'estimateur des autres paramètres non convergent : les erreurs sur les effets fixes contaminent le coefficient d'intérêt.
Le modèle de Poisson fait partie des rares exceptions, résultat rattaché aux travaux d'Erling Bernhard Andersen sur le maximum de vraisemblance conditionnel en 1970, et synthétisé par Tony Lancaster en 2000.
Pour le mémoire, cela signifie que les 139 effets fixes de commune et les 43 effets fixes de mois peuvent coexister sans compromettre l'estimation de β. Un modèle logit à effets fixes, lui, aurait été biaisé.
Le périmètre restreint est imposé, pas choisi
Établi le 7 août 2026 par documents/Note_Validation_Modeles.md.
L'objection la plus attendue est que le modèle ne porte que sur une poignée de communes. Le contrôle du 7 août y répond par un fait plutôt que par une concession : estimer sur le panel national de 139 communes et 5 977 observations retient exactement les mêmes 999 observations, et donne des coefficients dont l'écart est rigoureusement nul. Le périmètre n'est pas un choix de l'autrice, c'est ce que la séparation parfaite laisse subsister : un Poisson à effets fixes élimine mécaniquement toute commune dont le flux est constamment nul.
La formulation à tenir est donc : le périmètre est une propriété de l'estimateur, pas une restriction d'échantillon décidée en amont. À écrire au chapitre 2, sections 2.2.3 et 2.7.2.
Le regroupement des écarts-types ne porte pas la significativité
| Mode de regroupement | Violence locale | Violence de voisinage |
|---|---|---|
| Commune, retenu | 2,178 (0,368), p < 0,0001 | 1,283 (0,438), p = 0,0034 |
| Mois | 2,178 (0,408), p < 0,0001 | 1,283 (0,402), p = 0,0014 |
| Commune et mois | 2,178 (0,405), p < 0,0001 | 1,283 (0,436), p = 0,0032 |
| Hétéroscédastique simple | 2,178 (0,366), p < 0,0001 | 1,283 (0,398), p = 0,0013 |
Tableau 2.2.b. Le coefficient de voisinage, le plus exposé à la contestation, reste significatif à 1 % sous les quatre conventions. Surdispersion mesurée sur la même chaîne : 12 795. Ces valeurs sont celles du contrôle du 7 août, sur l'échantillon retenu après séparation ; elles ne remplacent pas les valeurs figées du chapitre 3, qui restent dans les valeurs figées.
Avant mars 2024, l'élasticité locale vaut 3,712 ; depuis, 2,141. Le test joint des deux interactions donne p = 0,0337. Ce n'est pas une rupture structurelle : le balayage de vingt-huit dates donne treize rejets, le plus fort en septembre 2023, ce qui signale une hétérogénéité temporelle diffuse. Tester une date choisie après coup exigerait la procédure d'Andrews (1993), qui n'a pas été conduite. À formuler comme hétérogénéité, jamais comme rupture datée.
Origine et rôle
Quatre étapes distinctes séparent la loi de 1837 du modèle estimé ici.
La loi. Siméon Denis Poisson la publie en 1837 dans ses Recherches sur la probabilité des jugements, pour décrire des événements rares comptés sur une période. Sa notoriété doit beaucoup à Ladislaus von Bortkiewicz, qui l'applique en 1898 aux décès par ruade de cheval dans l'armée prussienne.
Le cadre. John Nelder et Robert Wedderburn intègrent en 1972 la régression de Poisson dans les modèles linéaires généralisés, ce qui installe le lien exponentiel. Wedderburn montre en 1974 avec la quasi-vraisemblance que seule la moyenne et la fonction de variance importent réellement.
Le théorème décisif. Christian Gouriéroux, Alain Monfort et Alain Trognon établissent en 1984 dans Econometrica que tout estimateur de pseudo-maximum de vraisemblance dans la famille exponentielle linéaire reste convergent si l'espérance conditionnelle est bien spécifiée, même quand la loi supposée est fausse. C'est la fondation théorique du modèle du mémoire.
Le passage au panel. La même année, Jerry Hausman, Bronwyn Hall et Zvi Griliches construisent le Poisson à effets fixes pour étudier la relation brevets-recherche. Jeffrey Wooldridge démontre en 1999 que cet estimateur est pleinement robuste, sans aucune hypothèse de loi ni d'absence d'autocorrélation dès lors que les écarts-types sont groupés.
C'est l'équation qui teste la partie locale de H1 et qui produit le résultat principal du travail : la violence armée exerce un effet fort et significatif sur les départs, une fois neutralisés à la fois les écarts structurels entre communes et la trajectoire nationale du déplacement.
Ce second contrôle est celui qui donne sa valeur au résultat. Sans effet fixe temporel, l'association observée pourrait n'être qu'une concomitance : la violence monte, le déplacement monte, sans que l'un explique l'autre. Le mémoire écarte cette lecture.
La spécification est aussi estimée avec la violence du mois précédent, qui établit l'antériorité de la violence sur la fuite, condition nécessaire à toute lecture causale.
Pourquoi le PPML, et pas un autre modèle
Six modèles concurrents, six motifs d'écartement.
| Alternative | Auteur, année | Motif d'écartement |
|---|---|---|
| MCO sur ln(F) | Legendre 1805, Gauss 1809 | Détruit 97,9 pour cent de l'échantillon, le logarithme n'étant pas défini en zéro. Et sous hétéroscédasticité, l'inégalité de Jensen biaise le coefficient, résultat établi par Santos Silva et Tenreyro en 2006. |
| MCO sur ln(1 + F) | Usage courant | Conserve les zéros mais le coefficient dépend arbitrairement de l'unité de mesure de la variable expliquée. Chen et Roth ont montré en 2024 dans le QJE que l'estimand lui-même change si l'on compte en personnes ou en milliers de personnes. |
| Binomiale négative à effets fixes | Hausman, Hall et Griliches 1984 | Exige une hypothèse de loi que nos données violent. Allison et Waterman ont de plus montré en 2002 que sa version à effets fixes n'en est pas véritablement une. Le PPML étant déjà robuste à la surdispersion, elle n'apporte rien. |
| Poisson à inflation de zéros | Lambert 1992 | Suppose deux régimes générateurs distincts, dont un produisant des zéros structurels. Ici les zéros signifient « pas de déplacement ce mois-ci », pas « commune où le déplacement est impossible ». L'hypothèse serait fausse. |
| Tobit | Tobin 1958 | Modélise la censure d'une variable continue latente. Un comptage d'individus déplacés n'est ni continu ni censuré. |
| Logit ou probit à effets fixes | Chamberlain 1980 | Réduirait le flux à une présence ou une absence, perdant toute l'information sur l'ampleur. Et ces modèles souffrent du problème des paramètres incidents, dont le Poisson à effets fixes est précisément exempt. |
La réponse courte : le PPML est le seul estimateur qui accueille les zéros sans transformation, reste convergent malgré la surdispersion, et échappe au problème des paramètres incidents dans un cadre à effets fixes multiples.
Généalogie du PPML à effets fixes
Douze contributions, de la loi de 1837 au package qui calcule nos estimations.
Siméon Denis Poisson
Publie la loi de probabilité des événements rares. Recherches sur la probabilité des jugements, Paris.
Ronald A. Fisher
Fonde la méthode du maximum de vraisemblance, socle de tous les estimateurs qui suivent.
Jerzy Neyman et Elizabeth Scott
Identifient le problème des paramètres incidents, dont le Poisson à effets fixes sera l'exception.
John Nelder et Robert Wedderburn
Modèles linéaires généralisés : la régression de Poisson trouve son cadre et son lien exponentiel. JRSS A 135(3).
Halbert White
Matrice de covariance robuste à l'hétéroscédasticité. Econometrica 48(4).
Christian Gouriéroux, Alain Monfort, Alain Trognon
Le théorème central. La pseudo-vraisemblance dans la famille exponentielle linéaire converge sous la seule bonne spécification de la moyenne. Econometrica 52(3).
Jerry Hausman, Bronwyn Hall, Zvi Griliches
Premier Poisson de panel à effets fixes, sur la relation brevets-recherche. Econometrica 52(4).
Manuel Arellano
Écarts-types groupés pour les estimateurs intra-groupes, ceux qu'utilise le mémoire. Oxford Bulletin 49(4). Déjà dans la bibliographie.
Jeffrey M. Wooldridge
Établit la robustesse complète du Poisson à effets fixes : aucune hypothèse de loi requise. Journal of Econometrics 90(1).
João Santos Silva et Silvana Tenreyro
The Log of Gravity. Impose le PPML en économie appliquée en démontrant le biais de la log-linéarisation. REStat 88(4). Déjà dans la bibliographie.
Laurent Bergé
Package R fixest, qui absorbe efficacement plusieurs dimensions d'effets fixes. C'est lui qui calcule nos estimations.
Sergio Correia, Paulo Guimarães, Tom Zylkin
Algorithme rapide et détection de la séparation en Poisson à effets fixes de grande dimension. Déjà dans la bibliographie.
Jiafeng Chen et Jonathan Roth
Critique des transformations logarithmiques en présence de zéros, argument supplémentaire en faveur du PPML. QJE 139(2).