La formule et ses termes
Forme dite « par les rangs », adaptée à un échantillon fini de communes.
Décomposition, terme par terme
| Terme | Ce que c'est | Ce qu'il fait dans la formule |
|---|---|---|
| xi | Flux de la commune de rang i, triés du plus petit au plus grand | Le tri est indispensable : la formule pèse chaque commune par sa position dans le classement, pas par son identité. |
| n | Nombre de communes considérées | 26 pour les flux sortants, 75 pour les flux entrants. |
| Σ i xi | Somme des flux pondérés par leur rang | Le cœur du calcul. Si les grosses valeurs occupent les rangs élevés, cette somme gonfle, et l'indice avec elle. |
| n Σ xi | Normalisation par la taille et le total | Rend l'indice indépendant de l'unité de mesure et du nombre de communes. |
| (n+1)/n | Correction d'échantillon fini | Recentre l'indice pour qu'il vaille bien zéro en cas d'égalité parfaite entre communes. |
| G | Résultat, borné entre 0 et 1 | 0 : toutes les communes reçoivent autant. 1 : une seule commune concentre tout. |
Tableau 2.1.a. Lecture des composants de l'indice de Gini.
La courbe de Lorenz, ce que l'indice résume
L'indice chiffre l'aire entre la diagonale d'égalité et la courbe de concentration.
L'indice de Gini n'est pas une invention abstraite : il chiffre l'aire comprise entre la diagonale d'égalité parfaite et la courbe qui cumule les flux, commune par commune. Plus la courbe s'affaisse loin de la diagonale, plus la concentration est forte. Les deux courbes ci-dessous sont tracées sur les données réelles du mémoire.
Figure 2.1. Courbes de Lorenz construites sur
flux_sortants_communes.csv et flux_entrants_communes.csv. La courbe
des flux entrants est nettement plus creusée : la moitié des communes d'accueil ne reçoit que
1,2 pour cent des déplacés, contre 11,2 pour cent du côté des communes d'origine.
Les intervalles de confiance et le p de la différence sont dans les valeurs figées, tableau 14.3.
Le biais de petit échantillon est mesuré
Item ouvert depuis le 2 août, refermé le 7 août 2026.
Deltas (2003) a montré que l'indice de Gini calculé sur un échantillon est biaisé vers le bas, et que ce biais décroît avec le nombre d'unités. Nos deux indices portant sur des effectifs très différents, le biais est plus fort du côté des sortants, donc mécaniquement dans le sens de notre conclusion. Restait à savoir de combien.
| Indice | Sortants | Entrants | Écart |
|---|---|---|---|
| Gini brut | 0,5587 | 0,7951 | 0,2364 |
| Gini corrigé, facteur n/(n−1) | 0,5802 | 0,8060 | 0,2258 |
Tableau 2.1.b. Correction de Deltas, contrôle du 7 août 2026, 27 communes sortantes et 74 entrantes. Déplacement dû à la correction : −0,0106. Intervalle de confiance à 95 % de l'écart corrigé, 2 000 rééchantillonnages sous la graine 20260802 : [0,0759 ; 0,4170], qui exclut zéro.
Le biais joue bien dans le sens de H2, comme le chapitre le signale déjà, mais il déplace l'écart d'un centième là où l'écart vaut près d'un quart. Il ne peut pas porter la conclusion. La phrase du chapitre qui annonce que seul un écart excédant l'ampleur du biais sera jugé probant peut désormais être suivie de la mesure de ce biais.
Le contrôle du 7 août travaille sur 27 communes sortantes et 74 entrantes, indices bruts 0,5587 et 0,7951, écart 0,2364, intervalle [0,091 ; 0,421]. Le chapitre 3 et les valeurs figées portent 26 et 75 communes, indices 0,617 et 0,798, écart 0,180, intervalle [0,048 ; 0,391].
Les deux jeux sont cohérents en interne, la note vérifiant qu'elle reproduit exactement
l'intervalle de la chaîne sur laquelle elle tourne. Mais ce n'est pas la chaîne du chapitre.
L'écart correspond à celui que le dédoublonnage des flux par Pcode avait corrigé le
19 juillet, ce qui laisse penser que la validation a tourné sur une préparation antérieure.
À trancher avant de citer l'un ou l'autre : relancer
scripts/09_validation_modeles.R sur la chaîne de
redaction/00_preparation_donnees.R, ou établir laquelle des deux fait foi.
L'ordre de grandeur de la correction, un centième, ne dépend vraisemblablement pas de
l'arbitrage.
Origine et rôle
De la courbe à l'indice, puis de l'indice à l'hypothèse H2 du mémoire.
L'objet naît en deux temps. En 1905, Max Otto Lorenz, économiste américain alors doctorant, publie dans les Publications of the American Statistical Association une méthode graphique pour représenter la concentration des richesses : la courbe qui porte son nom. Elle rend la concentration visible mais ne la chiffre pas.
En 1912, le statisticien et démographe italien Corrado Gini publie à Bologne Variabilità e mutabilità et propose de résumer cette courbe par un nombre unique, dérivé de sa « différence moyenne ». Il en donne une présentation en anglais dans The Economic Journal en 1921, référence retenue dans la bibliographie du mémoire.
La forme précise que nous utilisons, celle qui pèse les valeurs par leur rang, vient de la reformulation d'Amartya Sen dans On Economic Inequality (1973), équivalente à l'écriture par covariance proposée par Robert Dorfman en 1979.
L'indice sert deux fois, et c'est cette double application qui fait tout l'intérêt de H2. Calculé sur les flux sortants, il mesure la concentration de la génération du déplacement. Calculé sur les flux entrants, il mesure celle de l'absorption.
L'écart entre les deux, et non chaque indice pris isolément, constitue le résultat. Il établit que le déplacement se forme sur un front relativement large de communes puis se déverse sur un ensemble plus étroit de communes réceptrices, ce qui déplace la question de planification : cibler les zones d'accueil sous pression, pas seulement les zones de départ.
L'indice était en outre le seul candidat qui permette de comparer deux distributions de tailles différentes, 26 communes contre 75, sans que la comparaison soit polluée par cette différence de taille.
Pourquoi le Gini, et pas une autre mesure de concentration
Cinq alternatives envisagées, cinq motifs d'écartement.
| Alternative | Auteur, année | Motif d'écartement |
|---|---|---|
| Indice de Herfindahl-Hirschman | Hirschman 1945, Herfindahl 1950 | Sa valeur dépend mécaniquement du nombre d'unités. Comparer 26 et 75 communes deviendrait ininterprétable, ce qui ruine exactement le test de H2. |
| Indice de Theil | Theil 1967 | Décomposable par sous-groupe, qualité réelle mais inutile ici, et non borné : impossible de dire à quelle distance de la concentration maximale on se trouve. |
| Part des cinq ou dix premières | Usage courant | Dépend d'un seuil arbitraire et ignore toute la distribution. Le mémoire la donne en complément descriptif, jamais comme mesure principale. |
| Coefficient de variation | Pearson 1896 | Très sensible aux valeurs extrêmes, or Port-au-Prince domine la distribution. La mesure refléterait cette seule commune. |
| Indice de dissimilarité | Duncan et Duncan 1955 | Conçu pour comparer deux populations sur un même territoire, pas pour mesurer la concentration d'une seule grandeur. |
La réponse courte à donner en soutenance : le Gini est borné entre 0 et 1, insensible au nombre d'unités, et comparable d'une distribution à l'autre. Aucune des trois propriétés n'était négociable pour tester H2.
Généalogie de l'indice
De la courbe de 1905 au bootstrap qui teste aujourd'hui l'écart entre deux indices.
Max Otto Lorenz
Propose la courbe cumulative de concentration. Methods of Measuring the Concentration of Wealth, PASA 9(70).
Corrado Gini
Résume la courbe par un scalaire, dérivé de la différence moyenne. Variabilità e mutabilità, Bologne.
Corrado Gini
Présentation en anglais, la référence citée dans le mémoire. The Economic Journal 31(121).
Amartya Sen
Reformulation par les rangs, exactement la forme de l'équation 2.1. On Economic Inequality, Oxford.
Bradley Efron
Invente le bootstrap, qui rend possible un intervalle de confiance sur l'indice sans hypothèse de loi. Annals of Statistics 7(1).
Robert Dorfman
Écriture équivalente par la covariance. Review of Economics and Statistics 61(1).
Bradley Efron et Robert Tibshirani
Manuel de référence du bootstrap, cité au chapitre 2 pour le test de la différence des deux indices.
George Deltas
Démontre le biais d'échantillon fini du Gini, décroissant avec n. Point repris en vigilance. REStat 85(1).